
\prob{0065}{带约束的二元二次方程}

实数$x, y$满足$x \ge y \ge1$，且

\[ 2x^2 - xy - 5x + y + 4 = 0 \]

求$x, y$。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{$x = 2, y = 2$}

\subsection{化简求值}

基本思路：运用配方思想化简，然后利用$x \ge y \ge1$求出$x, y$。

由原方程得

\begin{align*}
  (x^2 - 4x + 4) + (x^2 - xy - x + y) &= 0 \\
  (x - 2)^2 + (x - y)(x - 1) &= 0 \\
\end{align*}

由$x \ge y \ge1$知$x - y \ge0, x - 1 \ge0$，故$(x - y)(x - 1) \ge0$。由此可知

\[ \begin{cases}
  x - 2 = 0 \\
  x - y = 0 \\
\end{cases} \]

解得

\[ \begin{cases}
  x = 2 \\ y = 2 \\
\end{cases} \]

故$x = 2, y = 2$。
